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Given an array of n integers $x_1,x_2,\ldots,x_n$, there are queries of the following form: given an integer 1 ≤ k ≤ n, you need to return the k-th smallest integers in the array. Design an O(n) preprocessing algorithm so that you can answer each query in O(k) time.
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Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology
Computer Science
One of the more challenging notions to wrap one's head around regarding the GKR protocol is that, when applying it to a circuit $\mathcal{C}$ with a "nice" wiring pattern, the verifier never needs to materialize the full circuit. This is because the only information about the circuit's wiring pattern of $\mathcal{C}$ that the verifier needs to know in order to run the protocol is to evaluate $\widetilde{\operatorname{add}}_i$ and mult ${ }_i$ at a random point, for each layer $i$ of $\mathcal{C}$. And $\widetilde{\operatorname{add}}_i$ and mult $\widetilde{\mathrm{m}}_i$ often have nice, simple expressions that enable them to be evaluated at any point in time logarithmic in the size of $\mathcal{C}$. This problem asks you to work through the details for a specific, especially simple, wiring pattern, a circuit that squares all of its inputs, and sums the results via a binary tree of addition gates. Recall that for a layered circuit of depth $d$, the layers are numbered from 0 to $d$ where 0 corresponds to the output layer and $d$ to the input layer. - Assume that $n$ is a power of 2. Give expressions $\widetilde{\text { add }}_i$ and $\widetilde{\text { mult }}_i$ for layers $i=1, \ldots, d-2$ such that the expressions can both be evaluated at any point in time $O(\log n)$ (layer $i$ consists of $2^i$ addition gates, where for $j \in\left\{0,1, \ldots, 2^i-1\right\}$, the $j$ th addition gate has as its in-neighbors gates $2 j$ and $2 j+1$ at layer $i+1$ ). - Assume that $n$ is a power of two. Give expressions for $\widetilde{\operatorname{add}}_{d-1}$ and $\widetilde{\text { mult }}_{d-1}$ that can both be evaluated at any point in time $O(\log n)$. (This layer consists of $n=2^{d-1}$ multiplication gates, where the $j$ th multiplication gate at layer $d-1$ has both in-neighbors equal to the $j$ th input gate at layer $d$ ).
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Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology
Computer Science
Given a complete graph, suppose the vertices are number from $1$ to $n$. Each vertex $i$ is associated with a value $p_i$, and $p_1\cdots p_n$ forms a permutation of $1\cdots n$. The weight of edge $(i,j)$ is $w(i,j) = |p_i-p_j|\cdot |i-j|$, where $|x|$ denote the absolute value of $x$. Please design an efficient algorithm to compute the minimum spanning tree of the graph. Hint: the fastest algorithm runs faster than $O(n^2)$.
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Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology
Computer Science
An unknown n-mode continuous variable quantum state \rho satisfies mirror symmetry in phase space. Given m arbitrary phase space points, how to estimate the values of characteristic function of this state at these m phase space points such that the sample complexity scales logarithmically with m?
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Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology
Computer Science
We study the biased random walk in this exercise. Let $Z_t=\sum_{i=1}^tX_i$ where each $X_i\in\set{-1,1}$ is independent, and satisfies $P[X_i=-1]=p\in(0,1)$. Suppose the walk stops either when $Z_t=-a$ or $Z_t=b$ for some $a,b>0$. Let $\tau$ be the stopping time. Compute $E[\tau]$ for $p\neq 1/2$.
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Fundamental Disciplines of Computer Science and Technology
Computer Science
一年仅有一次，仅在短时间内，世界上99%的人口将在太阳照射范围内，其中完全处于白天的约有64亿人，超过12亿人在经历黄皆。这个具体的时刻是什么时候？
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Geography
Earth Science
若有一未饱和湿空气流经一座高3000米的高山，已知t0=20 ℃，τ0=15℃， P=1000百帕，试问：（1）凝结高度等于多少？ （2）在山顶处的温度等于多少？ （3）在背风山麓处温度等于多少？（注：取γm=0.5℃/100米，凝结出的水全部下降掉）
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Geography
Earth Science
温度为25℃，水汽压为22hPa的空气块，从迎风坡山脚处向上爬升，已知山高1500米，凝结产生的水滴均降在迎风坡。求求空气块的凝结高度、山顶处的温度和相对湿度。气温为19℃和25℃的饱和水汽压依次是22.0hPa和31.7hPa，忽略空气上升时露点的变化。
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Geography
Earth Science
通过测量，已知某山的山脚的温度为25.7℃，气压为1005.5hPa，山顶处气温14.3℃，气压855.5hPa，计算此山的相对高度。
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Geography
Earth Science
在一个超级单体云底，观测到一个半径为 r=2 km 的旋转上升气流，旋转周期约为 T=15 分钟。空气密度约为 ρ=1 kg m−3。假设旋转上升气流内部的空气近似刚体旋转，这个旋转气流引起了从边界到中心的动力气压梯度。设上述水平气压梯度带来的气压扰动在近地面为0，在地面上方1km处达到1 hPa。另外给定从地面到上方1km范围内环境大气处于静力平衡状态。请估算上述气压扰动引起的大气垂直运动速度。
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Geography
Earth Science
近年来，青海省北部越来越多的牧民不再转场到冬春牧场，而是将牲畜运输至甘肃省祁连山北麓的农区租地放牧，充分利用农区秸秆，走出了一条生态保护、绿色转型、牧业增长、农户增收、民族团结、互利共赢的“异地借牧”新模式。青海省牧民选择祁连山北麓农区放牧遇到的主要难题有（ ） ①疫病防治 ②低温冷害 ③农户配合度 ④生产用水 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
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Geography
Earth Science
沿经圈由 57.5°N 到 52.5°N 气压升高 1%，如果温度等于 7℃，求地转风。
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Geography
Earth Science
当日地距离为一个天文单位时，试求在赤道和极地的太阳辐射日总量的最大值和最小值。
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Geography
Earth Science
下列对云的描述正确的是（ ），请说明理由。 A.卷云，卷积云，卷层云属于暖云（只包含液态水的云） B.层云，层积云属于冷云（包含冰的云） C.荚状云形成在顺风的右侧 D.大气中云层只含有液态水
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Geography
Earth Science
在一个超级单体云底，观测到一个半径为 r=2 km 的旋转上升气流，旋转周期约为 T=15 分钟。空气密度约为 ρ=1 kg m−3。假设旋转上升气流内部的空气近似刚体旋转，请估算(1)这个旋转气流引起的动力气压梯度（从旋转气流边界到旋转中心）。
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Geography
Earth Science
2011年7月17日，我国南极中山站(69°22'S，76°22E)越冬科考队的队员们迎来了极夜后的第一次日出。当中山站“第一次日出”时，若在新加坡(103°38'E-104°6'E，1°09’N-129'N)观测太阳，太阳位于观测者的哪个方位？
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Geography
Earth Science
假设温度为25℃、21.3℃、20℃时，相对于纯水平面的饱和水汽压分别为31.67hPa、25.34 hPa、23.37 hPa。一块10千克的湿空气，其温度为25℃，相对湿度为80%，气压为1000 hPa，日落西山后，由于辐射冷却，假如其温度降低了5 ℃，试问： （1）此时是否会产生露（雾）； （2）假如产生了露（雾），若不考虑凝结过程中潜热释放的影响，那么其量为多少克?( 结果保留两位小数)
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Geography
Earth Science
如果地面气压观测准确，而700百帕气压观测误差为2百帕，地面到700百帕的平均温度为17℃，其计算误差为1℃，若算得700百帕的高度为3000米，问其误差为多少？
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Geodesy
Earth Science
简述大地测量学中的几类边值问题？Stokes 问题是哪类边值问题?为什么？
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Geodesy
Earth Science
水准面的不平行性是由于什么原因引起的？这种现象对水准测量会产生什么影响?
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Geodesy
Earth Science
在测量学中，从误差概念出发，中误差、标准偏差和方差的定义和联系是什么?
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Geodesy
Earth Science
何为控制网的基准？水准网、测角网、测边网、边角网、导线网和GPS网的起算数据是如何规定的？
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Geodesy
Earth Science
根据《测绘管理工作国家秘密范围的规定》，下面所列的国家基本比例尺地形图及其数字化成果中，定为秘密级的是（ ）。 A.1:5千 B.1:2.5万 C.1:5万 D.1:10万
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Geodesy
Earth Science
判断题：根据椭球定位与定向原理知，在大地原点上的垂线与法线一定重合.
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Geodesy
Earth Science
已知αAB=89°12’01‘’，xB=3065.347m,yB=2135.265m,坐标推算路线为B➡1➡2，测得坐标推算路线的右角分别为βB=32°30‘12’‘，β1=261°06’16‘’，水平距离分别为DB1=123.704m,D12=98.506m,是计算1，2点的平面坐标。
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Geodesy
Earth Science
某平差问题有 18 个同精度观测值，必要观测数等于 9，该平差问题的自由度为 ____ ，按条件平差法可以列 ____ 个条件方程；现取 9 个参数，且参数之间有两个限制条件。若按附有限制条件的条件平差法进行平差，应列出 ____ 个一般条件方程和 ____ 个限制条件方程;
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Geodesy
Earth Science
有一五边形导线环，等精度观测了各内角，共观测了八组结果，而计算处该导线的八组闭合差为–16″、+18″、+22″、–13″、–14″、+16″、–10″、–12″，试求该导线环之中误差及各角观测中误差。
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Geodesy
Earth Science
判断题：海洋测绘中，GPS技术不能用于水下定位。
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Geodesy
Earth Science
在测量学中，用最小二乘平差准则求参数估值时，对观测误差有无要求？
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Geodesy
Earth Science
设u* = 10m·s⁻¹，K = 5m²·s⁻¹，试根据埃克曼螺线解计算40°、100、200、400、1000m高度上u、v，估算hE。
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Space Physics
Earth Science
上海市居民王某在2024年冬季夜晚发现，收音机短波广播出现持续性杂音（持续3小时），同时智能电表显示家庭用电量异常升高（峰值达日常的150%），手机信号基站频繁切换通信频段。已知此时太阳活动指数$K_p=4^+$，电离层F2层临界频率$f_{oF2}=4.0\ \text{MHz}$（较日常下降40%），那么导致该异常现象的主要空间天气机制是？ A. 太阳风增强引发的电离层电子密度激增 B. 地磁暴引起的电力系统谐波干扰 C. 电离层暴导致的信号折射异常 D. 太阳耀斑引发的低频电磁脉冲
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Space Physics
Earth Science
低纬度地区的沿海城市（北纬$22^\circ15'$，东经$114^\circ10'$）在2025年太阳活动第25周期极大期期间，渔民使用北斗卫星导航系统时，发现连续多日正午至下午$\mathbf{16:00}$期间RTK定位精度频繁出现显著下降（水平误差超过$20\ \text{m}$）。已知此时电离层F2层临界频率$f_{oF2}=5.8\ \text{MHz}$（正常日照条件下的实测值），地磁活动指数$K_p=4^+$，且该区域白昼电离层电子总含量（TEC）较夜间高$3\times10^{16}\ \text{m}^{-2}$。 请推断导致该定位异常的主要原因是？ A. 电离层闪烁 B.电离层梯度 C.电离层延迟 D.电离层暴
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Space Physics
Earth Science
假设摩擦力与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即F = -kV。 (1) 试写出考虑摩擦力的相对环流定理； (2) 在经圈平面内取一物质环线，设初始环流为零，当环线内力管数N保持不变时，试求任意时刻的环流，以及最大环流位多少？（这里暂不考虑地球旋转作用）
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Space Physics
Earth Science
假设距太阳中心 D 个天文单位的地方，有一吸收率为 a 的薄片型卫星的法线与太阳光投射方向的夹角 θ，太阳半径为 R☉，当卫星处于辐射平衡时，求它的温度。
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Space Physics
Earth Science
某挪威特罗姆瑟市（北纬69°39'，东经18°56'）在2025年太阳活动第25周期极大期期间，业余无线电爱好者发现每日午夜至凌晨2:00期间短波通信（频率30MHz）出现异常衰减，而同一时段极光观测站记录到强烈的极光活动。已知此时地磁活动指数$K_p=6^-$，电离层F2层临界频率$f_{oF2}=3.2\ \text{MHz}$（较日间下降60%），且电离层电子总含量（TEC）夜间较白天减少$2\times10^{16}\ \text{m}^{-2}$。请推断导致该通信异常的主要极光相关物理过程。
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Space Physics
Earth Science
一可逆卡诺热机高温热源的温度为 $T_1=227 ℃$，低温热源的温度为$T_2=27 ℃$。其每次循环对外做净功$W=2000 J$，现通过提高高温热源的温度改进热机的工作效率，使其每次对外做净功为$W'=3000 J$。若前后两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线间且低温热源温度不变，计算改进后热机的高温热源温度$T_1'$。
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
单原子气体由具有两个内部能级的原子组成：基态的简并度为 \( g_1 \)，低激发态的简并度为 \( g_2 \)，其能量比基态高 \( E \)。假设基态的解离能为$E_0$，玻尔兹曼常数为$k_B$，求该气体的比热容$C_v$与温度$T$的关系式。
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
类似于理想气体，某温度下达到热平衡的热辐射也会具有能量并可以对容器壁造成压强。其内能密度，压强和温度的关系为： $$ u=\frac{4 \sigma T^4}{c} \quad, \quad p=\frac{1}{3} u $$ 现在把这样的热辐射装在一个气球里，气球的弹性特性和一个表面张力系数为 $\alpha$ 的肥皀泡相当，其总质量为 $m$ ，均分分布在表面上，平衡时气球形成球体，测得内部辐射温度为 $T$ ．而气球外部为真空．问： （1）平衡时，气球的半径为何？ （2）如果气球相对中心做各向同性的径向小振动．求这样的振动的周期．假设在振动频率较高，气球内部热辐射来不及从气球上吸收热量。 （3）气泡形成的热平衡是否是热力学稳定的？（提示：考虑体系的热容．）
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
某个系统满足 $P = -\frac{NU}{NV - 2AUV}$ 和 $T = 2C\frac{U^{1/2}V^{1/2}}{N - 2AU}e^{AU/N}$，求出熵。
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
Consider a classical statistical system consisting of two Ising spins $\sigma_{1,2}=\pm1$, whose energy is given by $E = -h_1\sigma_1 - h_2\sigma_2 - J\sigma_1\sigma_2$. If we integrate out the second spin and calculate the effective free energy of the first spin, it can be written in the form $E_{\text{eff}} = -h_{\text{eff}}\sigma_1 + E_0$. Please calculate the expression of $h_{\text{eff}}$
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
只考虑由系统不平衡性所做的功，即系统对外界除做功外无任何影响，过程始末外界复原，如系统体积不变，与外界总热交换为零等。 （1）写出系统由非平衡态到平衡态过程中对外做功的表达式，用初末能量 $E, E^{\prime}$ 表示，并说明何种条件下做功最大。 现考虑一具体情形：两绝热容器中有粒子数均为 $N$ ，温度均为 $T_0$ ，绝热系数为 $\gamma$ 同种理想气体，但容器体积不同，分别为 $V_1, V_2$ 。 （2）求容器连通后最大对外做功 $W_m$ 。 （3）试构造具体过程，使可获得（2）问中的最大功，并写出具体运算过程
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
水的密度为$\rho$，蒸发潜热为L，水滴的表面张力为$\gamma$，问如果一滴水能够在不吸收外界热或者不损失内能的情况下蒸发，水滴半径应该满足什么条件？这样的水滴是否存在？
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
在研究物质的量子现象中，为避免环境热效应的干扰，低温环境是至关重要的．磁制冷的一种能够将温度降低到毫开级别的技术．本题我们考虑顺磁材料的制冷过程，顺磁材料无自发磁化，仅在外磁场中会发生磁化． 简单起见，本题我们考虑由 $N$ 个粒子构成的顺磁材料，每个粒子相当于一个磁偶极子．粒子的磁偶极矩有两个可能取值：向上 $(\uparrow)$ 和向下 $(\downarrow)$ ，分别记为 $$ \mu_{\uparrow}=\mu \hat{z}, \quad \mu_{\downarrow}=-\mu \hat{z} $$ 这里 $\mu=e \hbar / 2 m_e$ 为 Bohr 磁子，这里 $e$ 是元电荷量，$\hbar=h / 2 \pi$ 是约化 Planck 常量，$m_e$ 是电子质量． 磁偶极子在磁场中的能量为 $$ E=-\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B} $$ 定义 $N_{\uparrow}$ 和 $N_{\downarrow}$ 为磁矩向上和磁矩向下的粒子数目。（1）粒子的分布． 对于大量粒子，在热平衡时，根据 Boltzmann 分布，某粒子处于 $i$ 状态 $(i=\uparrow, \downarrow)$ 的概率 $p_i$ 有 $$ p_i=\frac{N_i}{N} \propto e^{-E_i / k_B T} $$ 这里 $E_i$ 是 $i$ 状态的能量，$T$ 是系统的绝对温度． （i）求 $N_{\uparrow}$ 和 $N_{\downarrow}$ ． （ii）求 $S / N k_B$ ，结果用 $B, T, \mu, k_B$ 表示． （iii）在外磁场很弱的极限下，系统的总磁矩 $M$ 与外磁场 $B$ 有线性关系 $M \simeq \chi B$ ．求 $\chi$ ． （2）磁制冷。 磁制冷的过程如下．通过液氨制冷，可以将顺磁材料冷却到 $T_i=1 \mathrm{~K}$ 的热平衡状态，磁场为 $B_L$ ．维持液氦制冷，等温地缓慢增加磁场，使得系统达到磁场为 $B_H$ 的热平衡状态．现将系统的液氨分离，准静态绝热地将磁场从 $B_H$ 降回到 $B_L$ ，系统温度降为 $T_f$ ． （i）磁场 $B_L$ 的大小可以通过磁矩相互作用估计．已知磁矩 $\mu$ 在距离 $r$ 处产生的磁场为 $$ B=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mu}{r^3} $$ 这里 $\mu_0$ 是真空磁导率．取粒子间距 $r=1 \mathrm{~nm}$ ，估计 $B_L$ 的大小． （ii）取最大磁场为 $B_H=1 \mathrm{~T}$ ，求系统末态温度 $T_f$ ． （iii）求在磁场增加的过程中，单个粒子释放的热量．
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
（微观摘与宏观摘之间的联系）微观熵表达式 $S=k \ln (\Omega)$ 可以由信息熵的逻辑给出。一个随机事件的信息摘衡量的是我们对这一随机事件的无知程度。给定随机事件中不同独立事件的概率分布 $\left\{p_i\right\}_{i=1}^M$ ，则这一随机事件的信息熵定义为： $$ S=\sum_i-p_i \ln \left(p_i\right) $$ 对于热力学中研究的对象，一个宏观状态包含等可能的 $\Omega$ 个微观状态，这对应的随机事件包含 $\Omega$ 个独立事件，并且每个随机事件的概率均为 $\frac{1}{\Omega}$ 。根据定义，这一宏观状态的信息摘为 $S=\ln (\Omega)$ ，多乘一个玻尔兹曼常数就得到了热力学摘。 （1）我们考虑一个很简单的模型一个矩形箱子内部装有八个可分辨粒子，一个隔板将箱子分为左右两个体积相同部分。一种宏观状态是两部分各有四个粒子，求这一状态对应的微观摘。（4 分） （2）如果我们考虑内部的八个粒子是不可分辨粒子，例如电子，质子之类的基本粒子，重新求系统的微观熵。（4 分） （3）考虑一随机事件由两个独立的随机事件组成，也就是其概率分布满足 $\left\{p_i q_j\right\}_{i, j=1}^M$ ，并且有 $\sum_i p_i=$ $\sum_j q_j=1$ 。证明这一随机事件的信息熵等于两个独立随机事件的信息熵之和。（4 分） （4）处于平衡态的气体速度分布满足麦克斯韦分布 $V\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m v^2}{2 k T}}$ ，也就是说一个气体分子速度处于 $v_x \sim v_x+d v_x, v_y \sim v_y+d v_y, v_z \sim v_z+d v_z$ 的概率为 $V\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{m v^2}{2 k T}} d v_x d v_y d v_z$ 。我们考虑一个体积为 $V$ 的气缸中装有 $N$ 个处于平衡态温度为 $T$ 的可分辨单原子分子，求这个系统的微观熵。提示：计算一个连续概率分布的信息熵时，可以将概率分布分立化从而应用标准信息熵公式，结果可以包含一些无法确定的常数。（18 分） （5）考虑处于平衡态的理想气体经过一个准静态过程，温度体积由 $\left(T_0, V_0\right)$ 变化为 $\left(T_1, V_1\right)$ ，由宏观摘公式求解其摘的变化，结果和上一问给出的微观摘变化是否一致？（10 分）
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
考虑一个 $d$ 维空间中的 $N$ 粒子体系,外加两个自由度: $(P_{s},S)$ ,整个系统的哈密顿量写成$$ H_{\scriptscriptstyle N}=\sum_{i=1}^{N}\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{p}_{i}}{2m_{i}S^{2}}+U(\stackrel{\rightharpoonup}{r},...,\stackrel{\rightharpoonup}{r}_{N})+\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{p}_{s}}{2Q}+g k T\ln S $$ 整个系统遵从微正则分布,请问子系统 $\vec{\{r_{i},p_{i}\}}_{i=1}^{N}$ 在 $g$ 取何值时遵从正则分布?
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为$v=\sqrt{2gR_E}$，其中$R_E$为地球半径。计算氢气分子平均速率与逃逸速率相等时对应的温度$T_{H_2}$。
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
考虑一个 $d$ 维空间中的 $N$ 粒子体系,外加两个自由度: $(P_{s},S)$ ,整个系统的哈密顿量写成$$ H_{\scriptscriptstyle N}=\sum_{i=1}^{N}\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{p}_{i}}{2m_{i}S^{2}}+U(\stackrel{\rightharpoonup}{r},...,\stackrel{\rightharpoonup}{r}_{N})+\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{p}_{s}}{2Q}+g k T\ln S $$ 将 $g$ 视作常数,重新取变量 $\stackrel{\longrightarrow}{p_{i}}=\stackrel{\longrightarrow}{p_{i}}/S$ , $\overrightarrow{p}_{s}=\overrightarrow{p}_{s}/S$ 以及 $d t^{\prime}=d t/S$ ,使用这些变量推导每个自由度的演化方程;
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
涨落－耗散定理是联系不可逆过程中能量耗散和热平衡状态热涨落的重要定理。这个定理有不同的表述方式，其中一个是最早在物理学＂奇迹年＂1905年由爱因斯坦的一篇论文指出布朗运动中微观粒子在液体中的热学扩散系数 $D$ 与力学阻尼系数 $\gamma$ 之间存在爱因斯坦关系： $$ D=\frac{k T}{\gamma} $$ 其中，$k$ 为玻尔兹曼常数，$T$ 为体系的热力学温度．这个定理成功地在近平衡态体系的线性响应理论的框架下将涨落现象与输运现象都归因于热扰动（thermal agitation）的统计行为．后来人们在几个不同的实际体系中都发现了与其类似的对应定理。我们要研究的体系恰好也属于其中的一类． 1926 年约翰逊（J．B．Johnson）在贝尔实验室发现了电阻元件两端存在噪声电动势的现象，其电压平方对频率的谱为一个常数，称为白噪声（white noise）．他向同实验室的奈奎斯特（H． Nyquist）描述了这个现象，后者建立了理论解释了这个结果．奈奎斯特论证了，如果电阻元件置于温度为 $T$ 的环境下而其电阻为 $R$ ，那么在其频率谱的低频部分（高频部分将与普朗克公式一致）中，一段频率间隔 $\Delta \nu$ 中的噪声电动势的均方值符合奈奎斯特关系： $$ \mathcal{E}_{\Delta \nu}^2=4 k T R \Delta \nu $$ 由此回答以下问题：＂田＂字形网格电路具有九个格点，任意两个格点间的每一条直线段都具有相等的电阻 $R$ ．那么当这个 电路处于温度为 $T$ 的热平衡时，每一条边上将产生完全独立的随机变化的 电动势，在某个特定的频率区间上的电动势的平方的随时间平均值符合上面给出的奈奎斯特关系 ．而所有边的独立电动势共同决定了整个电路的电流分布．计算长时间内频率间隔 $\Delta \nu$ 内整个电路的平均热功率 $P_{\Delta \nu}$ ．
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
空间中有一团稀薄的高度电离气体，体积为 $V$ ，温度为 $T$ ，第 $i$ 种离子带电为 $Z_i e$ ，数量为 $N_i, C_{v i}$ 表示一摩尔 $i$ 分子的等体比热。由于离子之间的静电相互作用，对外表现出偏离理想气体的行为，接下来我们将对这团气体进行研究，为方便起见，设 $n_{i 0}=\frac{N_i}{V}$ ，答案可以用其表示。且在计算电势能的时候不用考虑第 $i$ 种离子数密度随空间变化使得感受到电势的不同。（1）忽略静电能对系统熵的影响，请求出 $\mu$ ，并给出任意一种离子在该处的数密度分布。（2）稀薄的含义是，粒子间距较大，即便静电作用为长程也无法与热运动能量比拟。在此近似下，求出 $\phi(r)$ ，并给出原点处这个特定的 $i$ 种离子感受到的电势。（对 $\phi$ 进行一阶近似） （3）请给出该气体的内能与压强。你可以用 $U_0, F_0$ 指代理想气体内能，自由能而不必求出。（使用上一问的结果作为第 $i$ 种离子感受到的电势 $\phi_i$ ） 提示： $$ \frac{U}{T^2}=-\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{F}{T}\right), P=-\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T, \nabla^2 \varphi=\frac{1}{r^2} \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d \varphi}{d r}\right) $$
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Thermodynamics and Statistical Physics
Physics
半径为$R$的薄柱壳上流有沿轴向的电流，其分布为$\alpha = \alpha_{0}(1 + k\cos\phi)$，$\alpha_{0}$、$k$均为常数。求空间磁场分布。
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考虑真空中一个半径为\(R\)、总电量为\(0\)的金属球，以球心为原点建立立体直角坐标系，原点为\(O\)。 (1)存在沿\(z\)方向、大小为\(E_{0}\)的匀强电场，求静电平衡时表面感应电荷密度随与\(z\)轴夹角\(\theta\)的函数\(\sigma_{0}(\theta)\)； (2)空间中的电场方向沿\(z\)轴，大小随\(z\)变化，\(E_{z}=E_{0}+\alpha z\)，满足\(\alpha R\ll1\) 。若要求该电场绕\(z\)轴对称且为无源场，电场的\(x\)、\(y\)方向分量也需随坐标变化，如\(E_{x}=\beta x\)，\(E_{y}=\beta y\) ，求\(\beta\)； (3)将上述金属球置于(2)问的电场中，静电平衡时电荷密度为\(\sigma(\theta)=\sigma_{0}(\theta)+\sigma_{1}(\theta)\) ，\(\sigma_{1}\)相对\(\sigma_{0}\)为一阶小量。保留到一阶小量，计算\(\sigma_{1}\) 。为避免复杂数学技巧，考虑点电荷在球外对球附近产生的电场（可视为匀强电场加变化电场 ），使等效电场与题设电场一致，求外部点电荷大小\(Q\)及到球心的距离\(l\) ，利用电像法求金属表面电场，经小量近似得到\(\sigma_{1}\) 。
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GEOMETRIC OPTICS 在光学实验中，目镜的作用是将待观察的在较近处的像成像在无穷远处，以便观察者能不费力地长时间观察像。 任何光学仪器设计时都会考虑光阑对成像的影响。由光轴上一物点发出的光束通过光具组时，不同的光阑对此光束的孔径限制到不同的程度。其中对光束孔径的限制最多的光阑，即真正决定着通过光具组光束孔径的光阑，称为孔径光阑：孔径光阑在物方的共轭（一个物点经过一理想光具组成一个像，根据光路可逆，此像作为物经过一理想光具组成的像的位置正是原来物的位置；这两点就称为互为共轭）称为入射光瞳，在像方的共轭称为出射光瞳。 入射光瞳中心 $O$ 与出射光瞳中心 $O^{\prime}$ 对整个光具组是一对共轭点。在轴外共轭点 $P, ~ P^{\prime}$ 之间的共轭光束中通过 $O, ~ O^{\prime}$ 的那条共轭光线称为此光束的主光线。随着 $P, ~ P^{\prime}$ 到光轴距离的加大，主光线通过光具组时会与某个光阑 $D D^{\prime}$ 的边缘相遇，离光轴更远的共轭点的主光线将被此光阑所遮断。这个光阑称为视场光阑。 某型号目镜由向场镜 $L_1$ 和接目镜 $L_2$ 组合而成，$L_1$ 和 $L_2$ 的焦距 $f_1$ 和 $f_2$ 以及两透镜的间隔 $d$ 满足 $f_1: f_2: d=4: 1: 3$ 。外加光阑 $A A^{\prime}$ 位于两透镜之间的正中央处。 $L_1$ 和 $L_2$ 以及光阑的孔径直径依次为 $D_1$和 $D_2$ 以及 $D$ 。本题不考虑任何波动光学效应。 （1）为使 $L_1$ 成为孔径光阑（物点为此目镜的等效物方焦点）同时 $A A^{\prime}$ 成为视场光阑，$D_1, ~ D_2, ~ D$之间应该满足什么条件？ （2）在上述条件下，计算出射光瞳的位置和大小。 （3）此目镜的设计相较惠更斯目镜 $\left(f_1: f_2: d=3: 1: 2\right.$ ，外加光阑 $A A^{\prime}$ 仍位于两透镜之间的正中央处）有不合理的地方，请指出何处不合理并说明用此目镜看像，像有什么缺陷。
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沿$z$轴放置的一无线长直导线，载有电流\[ I(t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ I_0, & t > 0 \end{cases}\] ，即一恒定电流$I_0$在$t=0$时刻突然出现。求该导线在$s$处产生的电场$\mathbf{E}$。
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一个交变电流 \( I = I_0 \cos(\omega t) \) 流经一个长直导线，然后沿着一个半径为 \( a \) 的同轴导电管流回。 假定导线边缘离导电管轴中心的距离 \( s \to \infty \) 时电场趋近于零，计算电场\( \mathbf E(s, t) \)。
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星际空间中常常弥漫着等离子体，外电磁场在等离子体云内的传播与等离子体云的固有振荡频率与衰减常数密切相关。假设等离子体云仅由质量为 $m_{+}$，带电量为 $+e$ 的正离子和质量为 $m_{-}$，带电量为 $-e$ 的负离子组成，且稳定状态下两种离子的数密度都是 $n_0$ 。由于星际空间中的温度极低，离子的热运动可以忽略不计，离子的运动仅由等离子体内部的静电作用和运动阻尼决定。当正离子运动速度为 $v_{+}$时，会受到正比于速度的阻尼力 $f_{+}=-k_{+} v_{+}$，而负离子同样受到阻力 $f_{-}=-k_{-} v_{-}$。假设离子的运动阻尼十分弱。若等离子体内部存在一个微小扰动，那么这个扰动将会以固有圆频率 $\omega$ 振荡，同时以衰减常数 $\beta$ 按 $e^{-\beta t}$ 形式指数衰减。请在弱阻尼条件下导出 $\omega$ 和 $\beta$ 的表达式。
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有一内外半径分别为$a$和$b$的空心介质球，介质的电容率为$\epsilon$，使介质内均匀带静止自由电荷$\rho_f$，求空间各点的电场
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一均匀带电球体，用球的半径$R$和总电荷$Q$表示南半球与北半球之间的净相互作用力$F$。
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有一块磁矩为\(\vec{m}\)的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力\(\vec{F}\) .
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磁矩为\(\vec{m}\) 的小永久磁体，放置于磁导率为\(\mu\) 的介质平面（\(z = 0\)）上方\(\vec{r}=a\vec{e}_{z}\) 处，\(\vec{m}\) 与\(\vec{e}_{z}\) 夹角为\(\alpha\)。求小磁体受力情况
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有一个内外半径为\(R_{1}\)和\(R_{2}\)的空心球，位于均匀外磁场\(\vec{H}_{0}\)内，球的磁导率为\(\mu\)，求空 腔内的场\(\vec{B}\)，讨论\(\mu >> \mu_{0}\)时的磁屏蔽作用。(即\(\vec{B}\)的大小)
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在均匀外电场$\vec{E}_{0}$中置入一带均匀自由电荷$\rho_{f}$的绝缘介质球$\varepsilon$，求空间各点的电势。
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一半径为 $a$ 的小圆线圈，电阻为 $R$ ，开始时与一个半径为 $b(b \gg a)$ 的大线圈共面且同心，固定大线圈，并在其中维持恒定电流 $I$ ，使小线圈绕其直径以匀角速 $\omega$ 转动如图（线圈的自感可忽略）。（20 分）求： （1）小线圈中的电流； （2）为使小线圈保持匀角速度转动，需对它施加的力矩 $T$ ； （3）大线圈中的感应电动势。
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真空中有一理想反射镜，形状方程为 $2 p z=x^2+y^2, z=\frac{p}{2}$ 处有一半径为 $p$ 的圆形理想黑体挡板与反射镜相连，使整个体系变成一个封闭系统，总质量为 $M$ 。系统内部 $z=\frac{p}{2}, x=y=0$,紧贴黑体平面处有一各向同性发光的光源，功率为 $I$ 。整个系统初始静止放在真空中，光源未开启。假设后面反射镜的运动速度远小于光速，在 ${ }_c$ 的时间尺度下可以视为反射镜没有发生位置变化。 $t=0$ 时刻打开光源，下面几问分析在 $t=0$ 到 $t=\frac{p}{c}$ 这段时间内反射镜的运动，问： （1）$t=\frac{p}{c}$ 时反射镜的速度。（10 分） （2）什么时间反射镜的速度达到最大，是多少？（24 分）
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一个半径为$R_{0}$的球面，在球坐标$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$的半球面上电势为$\varphi_{0}$，在$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$的半 球面上电势为$-\varphi_{0}$，求空间各点电势。
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真空中有一根固定的无限长均匀带电直线，电荷线密度为 $\lambda$ 。另有质量为 $m$ 的尘埃颗粒，可视作体积为 $V$ 的各向同性均匀介质球，相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 。已知介质球体积 $V$ 很小，真空介电常数为 $\varepsilon_0$ ，忽略重力，忽略电荷运动产生的电磁辐射，忽略相对论效应，研究尘埃颗粒在带电直线作用下的运动： （1）首先推导尘埃颗粒受到作用力的形式： （1．1）考虑颗粒到带电直线距离为 $r$ ，求颗粒的极化强度矢量 $P(r)$ ； （1．2）求颗粒受到的作用力，给出其大小和方向。 （2）给定颗粒初速度垂直于带电直线，这样就只需要研究颗粒在垂直于带电直线的平面内的运动，以带电直线与该平面的交点为原点，在该平面内建立 $r-\theta$ 极坐标系。接下来根据极坐标系下的基本动力学方程推导描述颗粒运动轨迹的方程，以下（2．1）和（2．2）两问不用代入上一问得到的作用力表达式： （2．1）直接写出颗粒在极坐标系中的径向动力学方程，颗粒受力用 $F(r)$ 表示（以远离带电直线为正）； （2．2）引入辅助变量 $u=\frac{1}{r}$ ，设颗粒对带电直线的角动量为 $L$ ，请推导以下方程： $$ L^2 u^2\left(\frac{\mathrm{~d}^2 u}{\mathrm{~d} \theta^2}+u\right)=-m F\left(\frac{1}{u}\right) $$ （3）根据第（1）问得到的作用力表达式求解第（2）问得到的方程，考虑颗粒从无穷远入射，初速度为 $v_0$（垂直于带电直线），瞄准距离为 $b$（带电直线与颗粒初速度所在直线之间的最近距离），取颗粒入射时的方位为 $\theta=0$ 。为简化结果表述，设颗粒受力为 $F(r)=K r^n$（以远离带电直线为正），以下各问可使用 $K$ ，但不可使用 $n$（ $n$ 值应由考生根据前面得到的结果自行给出）： （3．1）求颗粒的轨迹方程 $r=r(\theta)$ ； （3．2）求颗粒到带电直线距离的极小值 $r_{\text {min }}$ 。 （3．3）求颗粒的偏转角 $\phi$（最终出射速度方向与最初入射速度方向的夹角）。 （3．4）考虑大量相同颗粒从无穷远处以相同初速度 $v_0$ 按不同瞄准距离 $b$ 入射，忽略颗粒彼此间的相互作用。定义微分散射截面 $\sigma(\phi)$ 为单位时间内在偏转角 $\phi$ 附近单位立体角内收到的出射颗粒数除以入射的颗粒流强度（在垂直入射颗粒流方向上单位面积单位时间通过的颗粒数），本题直接给出其计算公式为 $\sigma(\phi)=\frac{b}{\sin \phi}\left|\frac{\mathrm{~d} b}{\mathrm{~d} \phi}\right|$ 。请先导出本问题的微分散射截面 $\sigma(\phi)$ ，再对立体角积分导出 $\phi_0 \leqslant \phi \leqslant \pi$ 范围内的总散射截面 $\Sigma_{\phi_0 \sim \pi}$ ，本问结果表达式一律不得出现 $b$ 。
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均匀带电线段与长轴旋转椭球电容器： （1）考虑一个均匀带电直线段，长度为 $2 c$ ，电荷线密度为 $\lambda$ 。以线段中点为原点，以线段某一方向为 $z$ 轴，建立柱坐标系，求空间电势分布。 （2）考虑一个长轴旋转椭球电容器（长轴旋转椭球是指椭圆绕其长轴旋转得到的椭球体），其内极板为半长轴为 $a$ ，焦距为 $c$ 的长轴旋转椭球，外极板为半长轴为 $A$ ，焦距为 $c$ 的长轴旋转椭球，$A>a>c$ ；内外极板长轴重合，中心点也重合，内外极板之间填充相对介电常数为 $\varepsilon_r$ 的介质。试求该电容器的电容。 （3）接上问，给定填充介质的电导率为 $\sigma$ ，求内外极板之间的电阻。 （4）接上问，上述电容器等效于一个纯电容和一个纯电阻做并联，将上述电容器与电感 $L$ ，直流电源和开关串联起来组成闭合回路，其中直流电源电动势恒定且内阻可忽略。最初开关断开，某时刻突然闭合开关，当电感 $L$ 满足什么条件时，系统会以最快速度到达稳态？
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在一条内半径为\(R_{1}=4.70cm\)，外半径\(R_{2}=6.00cm\)的无限长竖直空心固定铜圆柱层内放入一个半径\(r_{0}=0.800cm\)，匝数\(N = 20\)，质量为\(m = 6.58g\)的小超导线圈。该线圈的截面始终水平，且其中心始终在圆柱层的轴线上运动。已知铜的电阻率\(\rho=1.67\times10^{-8}\Omega\cdot m\)，重力加速度\(g = 9.78m/s^{2}\)，真空磁导率\(\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}N/A^{2}\)。忽略铜柱层的自感。 沿着竖直向下为\(z\)轴建立直角坐标系\(xyz\)，并记\(r\)为线圈中心到场点的距离，\(\theta\)为上述连线和\(z\)轴夹角，并引入\(r\)增大的方向对应的方向矢量\(\hat{r}\)，\(\theta\)增大的方向对应的方向矢量\(\hat{\theta}\)，以及方位角方向\(\hat{\phi}=\hat{r}\times\hat{\theta}\)。 起初固定超导线圈，并为其通入\(I_{0}=100A\)的超导电流达到稳定状态。研究线圈在重力作用下的稳定过程，记稳定下落速度为\(v_{c}\)。 (1)求给定\(v_{c}\)后铜柱层内的电流密度分布\(j\)； (2)求\(v_{c}\)。
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空间中存在磁场 $\vec{B}=-B(x) \overrightarrow{\mathrm{e}_{\overrightarrow{2}}}, 0 \leq X \leq L$ ，在坐标为 x 处，磁感应强度 $B=$ $B_0 \cos \left(\frac{2 \pi \mathrm{X}}{L}\right)$（垂直于纸面向内为正）。现有一个边长为 L ，电阻为 R ，质量为 m 的正方形导电线框，忽略线框自感。 1，若线框以恒定速度 $V_0$ 通过磁场区域，求线框产生的热量Q。 2，若线框以初速度 $V_0$ 进入磁场区域，且能完全通过磁场区域，求线框产生的热量 Q 和通过磁场区域后的速度 v ，以及线框能完全通过磁场区域的条件。 3，在线框中串联一个理想二极管（二极管的正方向未知）后，以初速度 $V_0$ 进入磁场区域，求 $\mathrm{v}(\mathrm{x})$ 。（直接写出最终结果即可）
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在标准的 CD 光盘上，环的半径以 $a \approx 1.6 \mu \mathrm{~m}$ 为间距递增，称为轨距. 将光源 $S$ 和观察者 $O$ 置于光盘平面略高的位置，光源指向光盘以实现掠入射条件．光源和观察者到光盘的距离远大于光盘半径．光源到光盘中心的连线与观察者到光盘中心的连线形成角度 $2 \alpha(\ll 1)$ ．考虑远侧的光带，设光盘上同心环存在的半径范围是 $r_0 \leq r \leq r_1$ ．设白光入射． （1）求反射光强 $I$ 与波长 $\lambda$ ，角度 $\alpha$ 的关系．常数可略去． （2）在可见光 $400 \mathrm{~nm}<\lambda<700 \mathrm{~nm}$ 范围内求干涉增强条纹的波长 $\lambda_m$ ． （3）实验中， SO 与圆心形成的平面比光盘平面略高，设两平面的夹角为 $\beta$ ．求 $\beta=25^{\circ}$ 以及 $\beta=35^{\circ}$ 时，光带的波长． （4）光盘一般是通过聚焦的激光烧录的，其储存容量主要由激光聚焦后的光斑大小限制的．CD 光盘一般使用 635 nm或 650 nm 的激光进行烧录，而蓝光光盘使用 405 nm 的蓝色激光进行烧录．解释为何同等面积下，蓝光光盘的容量比 CD 光盘大得多．
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半径为\(R_{0}\)的不带电导体球壳放入匀强电场\(\vec{E} = E_{0}\vec{e}_{z}\) 中，球心处于坐标原点。现在沿着\(x - y\)平面把这个球壳一分为二。计算为了保持这两个部分不分开需要多少外力。
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有一个梯子，可以分为相同的n节，对每一节，都由两根竖着的支撑棍和它们顶端的横杠构成。已知横杠和左侧的支撑棍的电阻都为R，而右侧的支撑棍电阻为2R，求n=3时最低端两个梯子脚之间的等效电阻
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Tolmen－Stewart 实验。 1916 年，Tolmen 和 Stewart 进行了他们的著名实验，证明了金属中的电流是由运动的自由电子引起的．实验装置示意如下。 一半径为 $r$ ，长 $h$ 的长螺线管转动惯量为 $J_0$ ．螺线管外由长为 $\ell$ ，质量 $m$ 的金属丝单层缠绕，使得螺线管单位长度上的匝数为 $n$ ．金属丝两端通过滑动触点与电流计相连。螺线管与金属丝以角速度 $\omega_0$ 共同转动，然后施加摩擦力矩 $M$ 使得螺线管停止转动．回路总电阻为 $R$ ，电容可忽略不计． （1）本部分忽略线圈电感，假设欧姆定律时刻成立． （i）求螺线管与金属丝的总转动惯量 $J$ ．结果用 $J_0, m, r$ 表示． （ii）求螺线管角速度与时间的关系 $\omega(t)$ ．结果用 $J, M, \omega_0$ 表示． （iii）求电流与时间的关系 $\omega(t)$ ．结果用 $J, M, r, \ell, R$ ，以及电子质量和电量 $m_e, e$ 表示． （iv）实验中，电流计记录到通过电路的总电量为 $Q$ ．求电子的荷质比 $e / m_e$ ，用 $\omega_0, r, \ell, R, Q$ 表示． （2）本部分你需要考虑螺线管的微小电感．线圈很长，边缘效应可忽略． （i）求螺线管中的最大电流 $I_{\max }$ ．用 $J, M, r, \ell, R, m_e, e$ 表示． （ii）求实验中螺线管储存的最大能量 $W_0$ ，用 $J, M, r, \ell, R, m_e, e, n, h$ 和真空磁导率 $\mu_0$ 表示． （iii）通过单位面积的电磁能流 $S$ 由 Poynting 矢量决定．其垂直于电场和磁场方向，大小为 $S=\frac{1}{\mu_0} E B \sin \alpha$ ，其中 $E$ 是电场强度，$B$ 是磁感应强度，$\alpha$ 是两者夹角，求电流增加阶段，通过侧面的电磁能 $W$ 和电流减小阶段，通过端面的电磁能 $W^{\prime}$ ．结果用 $\ell, r, M, J, n, R, m_e, e, \mu_0$ 表示．
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（有限厚度全反射）我们先来回顾一下菲涅尔公式的推导过程。在线性介质中，电磁波中电场的波动方程可以被写为 $$ \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{x}-\omega t)} $$ 其中 $\vec{k}$ 与 $\omega$ 分别为电磁波的波矢与角频率，满足关系 $k^2=\epsilon \mu \omega^2$ ，其中 $\epsilon, \mu$ 分别为介质的介电常数与磁导率。根据麦克斯韦方程 $\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ ，我们可以得到电磁波中电场强度与磁场强度之间的关系 $\vec{B}=\frac{\vec{k}}{\omega} \times \vec{E}$ ，大小关系为 $B=\sqrt{\epsilon \mu} E$ 。 （1）考虑情况，界面两侧是两无限大介质，入射光的电场强度 $E$ 方向垂直于入射平面，入射角度为 $\theta$ ，两介质折射率，透射率分别为 $\epsilon_1, \mu_1$ 与 $\epsilon_0, \mu_0$ ，请求出反射光与透射光的电场强度振幅大小。提示：在没有自由电流与自由电荷的电磁介质中电位移矢量法向连续，电场强度矢量切向连续，磁感应强度矢量法向连续，磁场强度矢量切向连续。（12） （2）考虑全反射情况， $\sin \theta>\frac{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}{\sqrt{\epsilon_1 \mu_1}}$ ，且有 $\epsilon_0 \mu_0<\epsilon_1 \mu_1$ 。请问此时透射光的电场强度随时间以及位置的分布，给定电磁波角频率 $\omega$ 。（16） （3）同样考虑上一问中的全反射情况。一般来说我们会用光传播方向与电场，磁感应强度矢量之间的相互关系来描述光的偏振情况，并且根据电场强度以及磁感应强度矢量随时间的变化分类为线偏振，圆偏振，椭圆偏振，部分偏振，以及自然光。请分别根据电场强度与磁感应强度矢量来描述透射光的偏振情况以及偏振种类。（10） （4）同样考虑全反射情况，但是我们考虑三层介质情况，并且中间介质厚度有限，为 $d=$ $\frac{1}{\omega \sqrt{\epsilon_1 \mu_1 \sin ^2 \theta-\epsilon_0 \mu_0}}$ ，请重新推导反射与透射光的振幅强度 $E^{\prime}, E^{\prime \prime \prime}$ 。（由于计算过于复杂，列出可以计算出 $E^{\prime \prime}, E^{\prime}$与 $E$ 之间关系的式子即可）（18）
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有一个不带电的金属球，其半径为 $R$ ，距离其球心 $r=2 R$ 处有一个电偶极子 $p$ ，其方向为沿径向向外．在电偶极子的作用下，整个体系达到静电平衡． （1）求电偶极子受到金属球的吸引力． （2）在金属球面上的某一点，其与球心连线与电偶极子与球心的连线方向夹角记为 $\theta$ ．求该处球面上的电荷面密度，并找到电荷面密度等于零的点对应的角度． （3）计算球面上的总正电荷量与总的负电荷量．
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一个金属圆柱体以角速度$\omega$绕中轴旋转,空间中有一均匀磁场B与它的中轴平行,求电荷分布,及角速度为多少时金属中的电荷分布处处为零
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2001 年诺贝尔物理学奖授予埃里克•康奈尔，沃尔夫冈－克特勒，以及卡尔－韦是。三位科学家的获奖理由是实现了碱金属原子气体中的玻色－爱因斯坦凝聚态。为此，他们采用了磁阱囚禁和蒸发冷却两项关键技术。 （1）利用磁阱囚禁原子的一种常见装置是所谓Ioffe势阱。Ioffe势阱由四根横截面积可忽略，相互平行的无限长直导线组成。这四根导线垂直穿过一边长为 $a$ 和 $b$ 的长方形的四个顶点。导线中通以大小相同的电流 $I$ ，电流方向如图 $a$ 所示。以长方形中心 $O$ 点为原点，垂直于长度分别为 $b$ ，$a$ 的边的直线为 $x, ~ y$ 轴，建立右手直角坐标系，任取 $x-y$ 平面上原点附近一点 $p$ ，其坐标为 $(x, y, 0)(x \ll a, y \ll b, ~ a$ 和 $b$ 为同阶量），求 $O, ~ P$ 两点的磁感应强度；所得结果如果可做小量近似的，试将所得结果做小量近似并保留至领头阶。 （2）实现玻色－爱因斯坦凝聚态的另一个重要条件是降温，也就是将原子气体的平均能量降低。常用的一种方法称为蒸发冷却，其原理是将具有高能量的原子蒸发掉，从而降低剩下原子的平均能量。设有一团原子气体，通过实验手段调控每个原子的磁矩方向始终与它所处位置的磁场方向相反，进而被上述Ioffe势阱囚禁在一高度固定的圆柱形区域内，圆柱体的横截面为平行于 $x-y$ 平面，半径为 $\left(R_1 \ll a, b\right.$ ，柱体高度远小于 $R_1$ ）的圆，被囚禁的原子的密度近似均匀。以 $O$ 点为势能零点，求这团原子气体在外磁场中的平均势能。如果缓慢地将一部分原子蒸发掉，使得剩余原子冷却且向中心收缩为半径为 $\frac{R_1}{5}$ ，高度不变的圆柱形区域，原子密度保持不变，求冷却后原子团的总原子数，原子团在外磁场中的总势能和原子平均势能。已知真空磁导率为 $\mu_0$
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航天员 Don Pettit 在国际空间站上进行了一个有趣的实验：通过摩擦使得织针带电，再向织针附近喷入带电的小水珠，则可以发现，许多水珠被束缚在织针附近，直到因为空气阻力等耗散效应损失能量，最终沾附在织针上。为简化起见，带电的织针可视为长度 $2 a$ ，均匀带电的线段，总电量为 $Q(>0)$ ．水珠可视为质量 $m$ ，带电 $-q<0$的质点．建立柱坐标，原点取为织针的中点．已知真空介电常数 $\epsilon_0$ ． （1）求空间电势分布 $V(r, z)$ ． （2）考虑 $z=0$ 的中平面上半径为 $r_0$ 的圆周运动．求圆周运动的角速度 $\omega_0$ ．若给予水珠一个径向扰动，求新轨道相邻两个 $r$ 最小的点之间的夹角 $\delta_\theta \in[0, \pi)$ ． （3）若改为给予圆周运动的粒子一个 $z$ 方向的微扰，求粒子 $z$ 方向运动的角频率 $\omega_z$ ． （4）下面考虑粒子被束缚的性质．为简化起见，假设粒子额外被约束在光滑曲面 $r(z)=r_1+\left(r_0-r_1\right) \mathrm{e}^{-z^2 / 2_0^2}$ 上，这里 $0
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边长为$w$，带有电流$I$的方形线框，计算其中心轴上$z$点处的磁场$\mathbf B$。
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Electrodynamics
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无限长的矩形波导管，在$z = 0$处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭，求在$z = -\infty$到$z = 0$这段管内可能存在的波模。
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Electrodynamics
Physics
一个电阻R和一个电感L串联,接在电源V上.求打开开关后,什么时候电阻损耗的热变化速率最大?
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Electrodynamics
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质量为 \(\mu\) 的粒子在中心力场 \(V(r) = -\frac{\alpha}{r^s} (\alpha > 0)\) 中运动。当存在束缚态时，计算$s$的取值范围。
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Quantum Mechanics
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类似于用紫外线光照射活泼金属表面，可以使得表面的电子克服逸出功而从金属中逸出而成＂光电子＂．用高能的 $\gamma$ 光子轰击静止的靶原子核，也可以使得核中的质子或中子逸出．如在一个典型的散裂反应中作为靶的铍核可被光子击出一个＂光中子＂： $$ { }^9 \mathrm{Be}+\gamma \longrightarrow \mathrm{n}+2{ }^4 \mathrm{He} $$ 之后不稳定的 ${ }^8 \mathrm{Be}$ 将分裂为两个 $\alpha$ 粒子．已知质子中子的质量分别为 $m_p, m_n$ ．氦－4与铍－9作为稳定核素的平均结合能分别为 $Q_2, Q_4$ ． （1）通过反应式判断 $Q_2, Q_4$ 需要满足的条件． （2）写出能发生这个反应时入射光子的最小能量． （3）已知 $$ m_p=938.2721 \mathrm{MeV} / c^2, m_n=939.5654 \mathrm{MeV} / c^2, Q_2=7.0739 \mathrm{MeV}, Q_4=6.4628 \mathrm{MeV} $$ 若出射的中子与入射光子方向的夹角只能存在于在一定范围内（而非各个方向均可），求入射光子的能量的可能取值范围．
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二维晶格对光的散射 本题研究二维晶格对光的散射。我们简单认为晶体仅有同一种原子构成，原子可以视为点粒子。在晶体中，原子周期性地排列，其中最小的重复单元称为晶胞。考虑一种二维晶体，其晶胞是由两个常矢量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 构成的平行四边形，其每个顶点各有一个原子。因此，选取其中一个原子为坐标原点，则晶体中的任一原子的位置可以表示为 $\vec{r}_0=n_1 \vec{a}+n_2 \vec{b}$ ，其中 $n_1$ 和 $n_2$是任意整数。 一束圆频率为 $\omega$ ，波矢为 $\vec{k}$ 的平面电磁波，入射到该晶体，电磁波传播方向在晶体平面内。仅原子可以对电磁波进行散射，忽略电磁波对原子运动的影响，整体来看，相当于电磁波在晶格中发生了衍射。以下问题仅考虑衍射波的波矢仍处于三维晶体所在平面的情况。 （1）考虑原子固定不动的情形。电磁波受原子散射后圆频率不变，仅方向发生改变。设散射后的电磁波波矢为 $\vec{k}^{\prime}$ 。 （1．1）计算衍射主极大的衍射波矢方向 $\vec{k}^{\prime}, ~ \vec{k}, ~ \vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 应满足的方程。 （1．2）定义倒格矢 $\vec{G}=\vec{k}^{\prime}-\vec{k}$ ，已知（1．1）小问中方程的解可以写作 $$ \vec{G}=m_1 \vec{h}_1+m_2 \vec{h}_2 $$ 其中 $m_1$ 和 $m_2$ 是任意整数，试求 $\vec{h}_1$ 和 $\vec{h}_2$（二者顺序可交换），结果用 $\vec{a}, ~ \vec{b}$ 和 $\hat{e}_z$ 表示，$\hat{e}_z$ 是方向垂直于二维晶体所在平面的单位矢量。 （2）我们对主极大的光强进行进一步的研究，考虑对应某个主极大衍射方向的倒格矢 $\vec{G} \circ$ 假设每个原子对衍射光复振幅贡献的模长均为 $A$ ，共计有 $N$ 个原子参与了衍射。 （2．1）对于每个原子都静止的情况，直接写出衍射主极大的光强 $I_0$ 。 （2．2）实际上，原子都在平衡位置附近进行热运动。设原子质量为 $m$ ，原子在平衡位置附近运动时的势能为 $$ V(\vec{r})=\frac{1}{2} m \Omega^2\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)^2 $$ 其中 $\vec{r}_0$ 为原子平衡位置的位置矢量。设晶体温度为 $T$ ，认为每个原子的热运动都是独立的，满足玻尔兹曼分布，忽略多普勒效应，求主极大相对光强 $I / I_0$ 随温度 $T$ 的变化。 （3）此问研究格波对衍射光的影响。忽略原子的热运动和多普勒效应，但晶体中存在机械波，其振幅为 $\vec{u}_0$ 。对于格点位置为 $\vec{r}_n$ 的原子，其相对格点的位移随时间 $t$ 的变化关系为 $$ \vec{u}_n\left(\vec{r}_n, t\right)=\vec{u}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\vec{q} \cdot \vec{r}_n-\omega_0 t\right)} $$ 其中 $\vec{q}$ 和 $\omega_0$ 为已知常量。 （3．1）由于格波的影响，衍射光的振幅会与 $\vec{u}_0$ 有关，在主极大附近可以观察到一些次极大。当 $\left|\vec{u}_n\right|$＜$\left|\vec{r}_n\right|$ 时，将衍射光的复振幅对 $\vec{u}_0$ 进行展开并保留到一阶，计算次极大所对应的衍射波矢 $\overrightarrow{k^{\prime}}$ 以及角频率 $\omega^{\prime}$ 。 （3．2）实验上常用中子散射研究声子色散关系。假设该二维晶体的晶胞形状为正方形，即 $$ \vec{a}=a \hat{e}_x, \vec{b}=b \hat{e}_y $$ 已知 $a=b=2 \pi \times 0.1 \mathrm{~nm}$ 。控制 $\vec{q}$ 沿 $y$ 轴方向，固体理论指出 $$ |\vec{q}|<\frac{\pi}{a} $$ 同时假设色散关系线性，即 $$ \omega_0=|\vec{q}| v $$ $v$ 为晶体内弹性波波速。 现有动能为 $E_0=5.00 \mathrm{eV}$ 的中子流沿 $x$ 轴入射到晶体。测得 $x y$ 平面内一处次极大的方向与 $x$ 轴夹角为 $\phi=16.73^{\circ}$ ，散射后中子动能变为 $E^{\prime}=7.90 \mathrm{eV}$ 。试求解晶体内弹性波波速 $v$ 。已知：中子质量 $m_n=939.6 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^2$ ，真空光速 $c=2.998 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，元电荷 $e=1.602 \times$ $10^{-19} \mathrm{C}$ ，约化普朗克常数 $\hbar=1.055 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}$ 。
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一个 \(N = 2\) 的线性西格玛模型耦合到费米子，其拉格朗日量为： \[ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_{\mu} \phi^i \right)^2 + \frac{1}{2} \mu^2 \left( \phi^i \right)^2 - \frac{\lambda}{4} \left( \left( \phi^i \right)^2 \right)^2 + \overline{\psi} \left( i \not{\partial} \right) \psi - g \, \overline{\psi} \left( \phi^1 + i \gamma^5 \phi^2 \right) \psi \] 其中 \(\phi^i\) 是一个具有两个分量的标量场（\(i = 1, 2\)）。 设 \(\phi^i\) 的真空期望值为 \(v\)，我们进行如下的变量替换： \[ \phi^i(x) = (v + \sigma(x), \pi(x)) \] 将拉格朗日量用新变量 \(\sigma(x)\) 和 \(\pi(x)\) 重写出来
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电子在周期性变化的磁场中运动，\(B_{x}=B_{0}\cos\omega t\)，\(B_{y}=B_{0}\sin\omega t\)，\(B_{z}=0\)。不考虑空间运动。已知\(t = 0\)时，电子处于\(s_{z}=\hbar/2\)的态上，求任意\(t\)时电子的波函数\(\psi(s_{z},t)\)，及电子处于\(s_{z}=-\hbar/2\)态的几率。
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设有大量电子（或其他自旋为\(1/2\)的全同粒子）被束缚于二维各向同性谐振子势阱中，计算电子气体的面积，平均密度，总能量。
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在beautiful mirror模型中，我们会引入类矢量夸克$\Psi_{L,R} = \begin{pmatrix} B \\ X \end{pmatrix} \sim (3, 2, -5/6)$ 和一个单态夸克 $\hat{B}_{L,R} \sim (3, 1, -1/3)$，其中括号内的数字表示在 $SU(3)_C, SU(2), U(1)_Y$ 超荷下的表示。其质量项以及相互作用项为 $$ -\mathcal{L} \supset M_1 \bar{\Psi}_L \Psi_R + M_2 \bar{\hat{B}}_L \hat{B}_R +y_1 \bar{Q}_L H b_R+ y_L \bar{Q}_L H \hat{B}_R + y_R \bar{\Psi}_L \tilde{H} b_R +h.c. $$ 假设Higgs玻色子的真空态为$H=\begin{pmatrix} 0\\ v/\sqrt{2} \end{pmatrix}$ 求$b$夸克以及新引入的夸克的质量
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考虑标准模型的一种变体，将希格斯双重态替换为一个复数希格斯三重态，该三重态具有超荷 \(Y = 1\)，并获得一个真空期望值（VEV）。我们可以写为： $$ H \sim (1, 3)_1, \qquad \langle H \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ v \end{pmatrix} \tag{3} $$ 规范玻色子获得质量后的质量是多少？
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两个无相互作用粒子具有相同质量\(m\)，在宽为\(a\)的一维无限深方势阱中运动。 (1) 写出体系4个最低能级的能量。 (2) 对下述情况，分别求出体系4个最低能级的简并度： (a) 自旋为\(1/2\)的全同粒子； (b) 自旋为\(1/2\)的非全同粒子； (c) 自旋为\(1\)的全同粒子。
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转动惯量为$I$电偶极矩为$D$的平面转子绕$z$轴转动，体系的哈密顿量为$\hat{H}_{0}=\frac{\hat{L}_{z}^{2}}{2I}$，定态能量为$E_{m}^{(0)} = \frac{\hbar^{2}m^{2}}{2I}$，定态波函数为$\psi_{m}^{(0)}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{i m \varphi},m = 0,\pm1,\pm2,\cdots$。如果在$x$方向存在均匀弱电场$\boldsymbol{\varepsilon}=\varepsilon \boldsymbol{i}$，电偶极矩同电场的作用$\hat{H}'=-\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{\varepsilon}=-D\varepsilon\cos\varphi$可视为微扰，计算二级近似能量和一级近似波函数。
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两个自旋为\(1/2\)的非全同粒子体系。以\(\vert+\rangle,\vert-\rangle\)分别代表自旋向上，下两个量子态。在\(t = 0\)时体系波函数为\(\vert\psi(0)\rangle=\frac{1}{2}\vert++\rangle+\frac{1}{2}\vert+-\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert--\rangle\)。体系的哈密顿量为\(\hat{H}=\omega_{1}\hat{S}_{1z}+\omega_{2}\hat{S}_{2z}\)。(1) 求\(t\)时刻波函数；(2)求\(t\)时刻的平均值：\(\langle s_{1x}\rangle\)与\(\langle s_{1y}\rangle\)。
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原子核发生α衰变时，α粒子（电荷\(2e\)）受到的作用势可以近似表示为 \[ V(r)=\begin{cases}-V_{0},&r < R\\\beta/r,&r > R\end{cases}\] 其中\(\beta = 2(Z - 2)e^{2}\)，\(Z\)是衰变前原子核的原子序数，\(R\)是“核半径”。\(r < R\)区域为核力，\(r > R\)区域为Coulomb力。试计算α粒子对Coulomb势垒的穿透概率，进而求出原子核α衰变的半衰期。
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一个质量为\(m\)，无电荷但自旋为\(1/2\)，磁矩为\(\hat{\boldsymbol{\mu}}=-\frac{2\mu_{0}}{\hbar}\hat{\mathbf{S}}\)的粒子在一维无限深势阱 \[ V(x)= \begin{cases} 0, &|x|L \end{cases} \] 中运动，其中\(\mu_{0}\)和\(L\)为正的常数，\(x\)为粒子的坐标，\(\hat{\mathbf{S}}\)为粒子的自旋算符。现考虑在\(x < 0\)的半空间中有一沿\(z\)方向的均匀磁场，大小为\(B\)，而在\(x > 0\)的半空间中有一同样大小但沿\(x\)方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出\(B\)能作为弱磁场处理的具体条件（微扰只须计算到最低阶，自旋空间的波函数在\((\hat{S}^{2},\hat{S}_{z})\)表象中写出）。
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一个质量为$m$无自旋的粒子受到中心力势$V(r)=-\frac{\hbar^{2}}{ma^{2}}\frac{1}{\cosh^{2}(r/a)}$的散射，其中$a$是常数。已知方程$\frac{\mathrm{d}^{2}y(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+K^{2}y(x)+\frac{2}{\cosh^{2}x}y(x)=0$有解$y(x)=\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}Kx}(\tanh x\mp\mathrm{i}K)$。在低能下，求粒子能量为$E$时，$s$分波的散射截面及其角分布。
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若$^{238}\text{U}$的质量为237.5558 u，计算$^{238}\text{U}$的平均结合能$\text{E}$。
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质量为$\mu$的粒子被中心力场$V(r)=\frac{\alpha}{r^{2}}(\alpha>0)$散射。 (1) 求各分波的相移$\delta_{l}$； (2) 在$\frac{\mu\alpha}{\hbar^{2}}\ll\frac{1}{8}$条件下，求$\delta_{l}$的渐近式，并计算$E \to 0$时$s$波散射总截面$\sigma_{t}$，及任意能量$E$时的散射微分截面$\sigma(\theta)$。
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已知体系的能量算符为 \[ H = Kl^{2}+\omega l_{z}+\lambda l_{y} \quad(1) \] 其中\(K,\omega\gg\lambda > 0\)，\(l\)为轨道角动量算符. (a) 求体系能级的精确值； (b) 视\(\lambda\)项为微扰，求能级(二级近似，不考虑偶然简并)； (c) 对于每一个能级，求\(l_{y}\)、\(l_{z}\)的平均值. 用精确解法和微扰论(准确到\(\lambda\)量级)分别计算，并作比较.
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在核子与π介子反应过程中，同位旋$(I, I_{z})$守恒。设反应主要通过$I = 3/2$道进行，试求下列反应的分支比。 (a) $\mathrm{p}+\pi^{+}\to\mathrm{p}+\pi^{+}$ (b) $\mathrm{p}+\pi^{-}\to\mathrm{n}+\pi^{0}$ (c) $\mathrm{p}+\pi^{-}\to\mathrm{p}+\pi^{-}$
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有一个量子力学体系，Hamilton量记为\(H_{0}\)，能级和正交归一化的本征函数为 \(E_{1}^{(0)}\)——\(\psi_{\alpha},\psi_{\beta}\)，\(E_{2}^{(0)}\)——\(\psi_{\gamma},\psi_{\delta}\) 设体系受到微扰作用，微扰后的Hamilton量可以表示成下列矩阵形式（\(H_{0}\)表象）： \[ H = H_{0} + H' = \begin{bmatrix} E_{1}^{(0)} & a & d & 0 \\ a & E_{1}^{(0)} & b & 0 \\ d & b & E_{2}^{(0)} & c \\ 0 & 0 & c & E_{2}^{(0)} \end{bmatrix} \quad(1) \] 设无偶然简并，试用二级微扰论计算体系能级.
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假设两个质量为\(m_{q}=70 MeV/c^{2}\)的夸克可以通过位势\(V(r)=-a(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{1}\cdot\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{2}-b)r^{2}\)束缚在一起，其中\(r\)是两个夸克之间的距离，\(a = 68.99 MeV/fm^{2}\)，而\(b\)是一个待定的参数。 (1)\(b\)取什么值才能使两个夸克束缚在一起？ (2)设两个夸克是不同类型的，并取\(b = 3/2\)。试求基态能量和简并度。 (3)设两个夸克是同一类型的，并取\(b = 3/2\)。试求基态能量和简并度。 (4)令\(b = 0\)，求两个全同夸克在基态的方均根距离。已知\(\hbar c=197.3 MeV\cdot fm\)。
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